Função Quadrática

A função quadrática é uma função matemática do segundo grau.

Geralmente escrita na forma:  f(x) = ax² + bx + c.

Em que:

• a, b e c são números reais (com a ≠ 0),
• x é a variável independente,
• f(x) representa o valor da função (também chamada de y).

A característica principal da função quadrática é a presença do termo x², o que faz com que seu gráfico seja uma parábola. Dependendo do valor do coeficiente a, essa parábola pode ter concavidade voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).

O estudo das funções quadráticas tem origem na Antiguidade, com civilizações como os babilônios e os gregos. Esses povos resolviam equações do segundo grau usando métodos geométricos, sem uma notação algébrica formal.

Babilônia e Grécia Antiga

• Os babilônios (cerca de 2000 a.C.) sabiam resolver equações que hoje classificamos como quadráticas, embora sem o uso de letras ou fórmulas.
• O matemático grego Euclides (cerca de 300 a.C.) tratava dessas equações de forma geométrica, analisando áreas e proporções.

Matemática Árabe

• No século IX, o matemático Al-Khwarizmi desenvolveu métodos sistemáticos para resolver equações quadráticas, utilizando palavras em vez de símbolos. Seu trabalho influenciou o surgimento da álgebra na Europa.

Europa e Álgebra Moderna

• Com o Renascimento, surgiram os símbolos algébricos que usamos hoje. A função quadrática passou a ser estudada com foco no gráfico, raízes e aplicações práticas.
• No século XVII, René Descartes e outros matemáticos franceses conectaram a álgebra com a geometria, estabelecendo o sistema cartesiano e permitindo a representação gráfica de equações quadráticas como parábolas.
  

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Elementos da Função Quadrática

Para entender completamente uma função quadrática, é essencial conhecer seus elementos principais:

• Coeficiente a: indica a concavidade da parábola.
• Se a > 0, a parábola é voltada para cima.
• Se a < 0, a parábola é voltada para baixo.
• Coeficiente b: influencia a inclinação e a posição da parábola no eixo x.
• Coeficiente c: representa o valor de f(x) quando x = 0, ou seja, o ponto onde a parábola cruza o eixo y.
• Raízes ou zeros da função: são os valores de x que fazem f(x) = 0, obtidas pela fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• Delta (Δ): discriminante da equação, determina o número de raízes reais:
• Δ > 0 → duas raízes reais e distintas.
• Δ = 0 → uma raiz real (dupla).
• Δ < 0 → nenhuma raiz real.
• Vértice da parábola: ponto mais alto ou mais baixo do gráfico. Suas coordenadas são:
• x = -b / 2a
• y = f(-b / 2a)
• Eixo de simetria: reta vertical que divide a parábola ao meio, passando pelo vértice.

Curiosidades

Aplicações no mundo real: a função quadrática é usada para modelar fenômenos da física, economia e engenharia.

Por exemplo:

• Lançamento de projéteis (trajetória parabólica).
• Lucro máximo ou mínimo em funções de custo e receita.
• Área máxima de um espaço com restrições.

Parábolas na natureza e na engenharia:

• Antenas parabólicas, refletores de luz e pontes utilizam a forma da parábola para distribuir ondas e cargas de maneira eficiente.
• Algumas plantas e flores apresentam simetrias parabólicas em suas estruturas.

Sinal do coeficiente a é essencial:

• muitos erros em provas e vestibulares ocorrem por confundir o sinal de a, o que inverte a concavidade da parábola e muda completamente o comportamento da função.

Parábolas perfeitas no espaço:

• o movimento de corpos no vácuo, sem resistência do ar, forma trajetórias que seguem funções quadráticas, conforme as leis do movimento uniformemente acelerado.

Função do segundo grau e arte:

• curvas parabólicas aparecem em arcos arquitetônicos, desenhos e esculturas por sua harmonia visual.

Práticos Exemplo 1:

Função: f(x) = 2x² - 4x + 1

• a = 2 → parábola com concavidade para cima.
• b = -4, c = 1Δ = (-4)² - 4×2×1 = 16 - 8 = 8 → duas raízes reais.

Raízes: x = (4 ± √8)/4 → x ≈ 0,59 e 1,41

Vértice: x = 1 → y = f(1) = 2(1)² - 4(1) + 1 = -1

Exemplo 2:

Função: f(x) = -x² + 6x - 9

• a = -1 → parábola voltada para baixo.
• Δ = 36 - 36 = 0 → uma raiz real (x = 3).

Vértice: x = 3 → y = f(3) = -9 + 18 - 9 = 0

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Conclusão

A função quadrática é um dos conceitos mais importantes da matemática escolar e acadêmica. Presente em gráficos, problemas do cotidiano e aplicações práticas, ela permite analisar comportamentos de crescimento, queda, máximos e mínimos. Dominar seus elementos, como o vértice, as raízes e a concavidade, é fundamental para interpretar e resolver uma ampla variedade de situações matemáticas e científicas.Entender a função quadrática vai além de saber resolver equações: é compreender uma linguagem universal que descreve movimentos, fenômenos e formas em nosso mundo.

Fontes e Referências

Dante, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações, Volume 2 – Ática.

Gelson Iezzi et al. Matemática: Ciências e Aplicações, Volume 2 – Atual.

Khan Academy – Funções Quadráticas

https://pt.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions

Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM)

https://www.sbem.com.br

Wolfram MathWorld – Quadratic Functionhttps://mathworld.wolfram.com/QuadraticFunction.html